Data Interpolation Using Polynomial Methods and Cubic Spline

Abstract

This study aims to clarify the fundamental concepts of numerical analysis in general, followed by an exploration of interpolation principles. Interpolation is categorized into general and piecewise types. The research discusses several methods for general interpolation and the associated error formulas. It was found that interpolation using Lagrange, Newton’s forward and backward methods, and Hermite involves approximating data with polynomials that pass through all given points. As a result, the resulting polynomials tend to be of high degree, and such polynomials exhibit oscillatory behavior—the higher the degree, the greater the oscillation—which limits their practical use. Therefore, cubic spline interpolation is preferred to ensure continuity and smoothness in piecewise interpolation. The study examines the concept of cubic splines, their construction, types, and supports the discussion with examples and relevant theorems.

هدف هذا البحث لتوضيح المفاهيم الأساسية  في التحليل العددي بصورة عامة، ثم  تطرق لموضوع أساسيات الاستكمال  حيث أنه ينقسم إلى استكمال عام واستكمال متقطع وتناول بعض طرق إيجاد الاستكمال العام وصيغة الخطأ في هذه الطرق فوجد أن الاستكمال بطرق لاجرانج ونيوتن الأمامية والخلفية وهيرمت تتم فيهم تقريب البيانات باستخدام كثيرات الحدود التي تمر منحنياتها بكل النقاط المعطاة وبالتالي فكثيرة الحدود الناتجة تكون ذات رتب عليا وطبيعة كثيرات الحدود من الرتب العليا متذبذبة فكلما زادت درجة كثيرة الحدود زاد التذبذب وهذا يحد من استخدامها، فكان من الأفضل استخدام الشريحة التكعيبية لضمان استمرارية اتصال الحدودية المستكملة (الاستكمال المتقطع)، وقد تمت دراستها فوضح مفهومها وكيفية بنائها وأنواعها ودعم ذلك بالأمثلة والنظريات